в начало | курсовые на практикумах | фотографии разряда

Вейвлет-преобразование

Курсовая работа по практикуму ТСАНИ
Физический факультет НГУ III курс 1 семестр.
Алексей В. Петренко

 
        Аннотация

         Разработана программа на С++ реализующая простейщий вариант дискретного вейвлет-преобразования с выводом получающегося распределения на 3D-график. Приведен текст программы и результаты преобразования нескольких сигналов. Также дается краткое введение в теорию вейвлет-преобразований.


Введение

        В последнее время широко используются методы обработки данных основанные на вейвлет-преобразованиях. Вейвлеты - это математические функции, позволяющие анализировать различные частотные компоненты данных. Вейвлеты обладают существенными преимуществами по сравнению с преобразованием Фурье, потому что вейвлет-перобразование позволяет судить не только о частотном спектре сигнала, но также о том, в какой момент времени появилась та или иная гармоника. С их помощью можно легко анализировать прерывистые сигналы, либо сигналы с острыми всплесками. Кроме того вейвлеты позволяют анализировать данные согласно масштабу, на одном из заданных уровней (мелком или крупном). Уникальные свойства вейвлетов позволяют сконструировать базис, в котором представление данных будет выражаться всего несколькими ненулевыми коэффициентами. Это свойство делает вейвлеты очень привлекательными для упаковки данных, в том числе видео- и аудио-информации. Мелкие коэффициенты разложения могут быть отброшены в соответствии с выбранным алгоритмом без значительного влияния на качество упакованных данных. Вейвлеты нашли широкое применение в цифровой обработке изображения, обработке сигналов и анализе данных. Существует два класса вейльвет-преобразований: непрерывные и дискретные.
         В данной работе реализовано дискретное вейвлет-преобразование с выводом получающегося распределения на 3D-график. Приведен текст программы и результаты преобразования нескольких сигналов. Также дается краткое введение в теорию вейвлет-преобразований.


Теоретическая часть

         Вейвлет-анализ возник при обработке записей сейсмодатчиков в нефтеразведке и с самого начала был ориентирован на локализацию разномасштабных деталей. Выросшую из этих идей технику теперь обычно называют непрерывным вейвлет-анализом. Ее основные приложения: локализация и классификация особых точек сигнала, частотно-временной анализ нестационарных сигналов. Например, у таких сигналов, как музыка и речь, спектр радикально меняется во времени, а характер этих изменений - очень важная информация. Непрерывное вейвлет-преобразование также используется в медицине для анализа электрокардиограм.

         Другая ветвь вейвлет-анализа - ортогональный вейвлет-анализ. Главные его применения - сжатие данных и подавление шумов.

Непрерывное wavelet- преобразование определяется как:

это выражение представляет собой свертку сигнала с функцией переводящую сигнал из временной в wavelet-область с базисными функциями:

где и представляют растяжения и сдвиги одной функции (материнской wavelet ). Обратное преобразование определяется как:

где . Параметр называют параметром масштаба, а параметр   параметром сдвига. Wavelet-преобразование не уникально в смысле возможности выбора различных материнских wavelet. Однако материнская wavelet должна обладать конечной энергией и ограниченной полосой частот, т.е.:

         Коэффициенты дискретного вейвлет-преобразования находятся следующим образом. Сначала выделяют постоянную составляющую сигнала. (Иногда этот щаг опускается, как, например, это сделано на рис. 2.) Затем считают свертку сигнала с материнским вейвлетом, растянутым на всю временную ось. После этого материнский вейвлет сжимают в два раза и считают коэффициенты его свертки с первой и второй половинами сигнала. Затем материнский вейвлет сжимают еще в два раза и считают следующие четыре коэффициента. В итоге на первых двух шагах получается по одному коэффициенту, а на последующих шагах число коэффициентов постоянно удваивается. Постоянно сжимающийся материнский вейвлет выявляет все более высокие частоты в спектра сигнала. А его положение на оси времени характеризует момент появления соответствующей частоты.

         В данной работе в качестве материнского вейвлета использовались функции sin и cos, причем распределение считалось оттдельно для sin и для cos, а на график выводилось среднее геометрическое от двух коэффициентов (корень из суммы квадратов). Такая схема вычислений оказалась на очень удобной из-за неортогональности базиса. Но качественные особенности вейвлет-преобразования сохраняются и в этом случае.

Рис. 1. Алгоритм вычисления коэффициентов дискретного вейвлет-преобразования.



Рис. 2. Сравнение дискретного (DWT) и непрерывного (CWT) вейвлет-преобразований.

Результаты

         Полученные преобразования различных сигналов показаны на рисунках 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник.

         Исходный текст программы на С++

         Исполняемый файл (48k) здесь кроме exe-файла находится графический драйвер и текст программы на C++. Для того, чтобы в полной мере насладиться 3D-графикой программы, разархивируйте эти файлы в одну директорию и запустите exe-файл. Если при нажатии на функциональные кнопки (p, m, x, y, z) желаемого результата не происходит, то, возможно, у вас установлена русская раскладка клавиатуры. В этом случае в DOS следует переключиться на английский язык.


Выводы

       1.  Разработанна программа реализующая один из видов дискретного вейвлет-преобразования. Получающееся частотно-временное распределение выводится в виде 3D-графика.

       2.  Установлено, что использование функций sin и cos в качестве материнского вейвлета приводит к появлению шумов, связанных с неортогональностью данного вейвлет-базиса.


Литература

        [1] Amara's Wavelet Page http://www.amara.com/current/wavelet.html
        [2] Max Fomitchev "AN INTRODUCTION TO WAVELETS AND WAVELET TRANSFORMS"  http://www.smolensk.ru/user/sgma/MMORPH/N-4-html/1.htm
        [3] WAVELETS Internet Sources http://www.cosy.sbg.ac.at/~uhl/wav.html
        [4] В.В. Геппенер, М.А. Соколов "АДАПТИВНЫЕ МЕТОДЫ ПОДАВЛЕНИЯ МЕШАЮЩИХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ WAVELET-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ ГЕОЛОКАЦИИ"  http://inftech.webservis.ru/it/conference/scm/2000/session12/geppen.htm
        [5] Surfing the Walvelets http://softlab.od.ua/algo/dsp/surfingw/wavelet.htm
        [6] Частотно-временной анализ с использованием волнового преобразования  http://www.ecg.ru/pub/disser/pdima/disser/glava3_3_5.htm
        [7] ЛЕОНИД ЛЕВКОВИЧ-МАСЛЮК "Дайджест вэйвлет-анализа, в двух формулах и 22 рисунках."  http://www.vsma.ac.ru/~gai/wavelet/4.1.html
        [8]   http://kuzin.radio.nsu.ru/STUDENTS/Kursovik/2000/8302/petrenko/literature/

 

Рис. 3. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник. Преобразование сигнала с возростающей во времени частотой Хорошо видно основное достоинство вейвлет-преобразования, а именно, возможность определения времени появления какой-либо гармоноки в спектре сигнала.

Рис. 4. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник. То же самое, что и на рис.3, только в другом ракурсе.

Рис. 5. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник. То же самое, что и на рис.3, только в другом ракурсе.

Рис. 6. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник. Спектр сигнала, полученного с помощью АЦП.

Рис. 7. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник.

Рис. 8. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник. На этом графике хорошо видны высокочастотные шумы, возникающие из-за неортогональности использованного базиса.

Рис. 9. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник.

Рис. 10. Здесь на X-Z плоскости показан график сигнала, по оси Х отложено время, по оси Y-частота, по оси Z-амплитуда гармоник. Период сигнала не кратен двум.

в начало | курсовые на практикумах | фотографии разряда