НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Постановка задач гидродинамической устойчивости

Для большинства задач о движении вязкой жидкости и заданных стационарных условиях должно в принципе существовать точное стационарное решение уравнений гидродинамики. Эти решения формально существуют при любых числах Рейнольдса, характеризующих параметры потока. Но не всякое решение уравнений движения, даже если оно точное, может реально воплотиться в природе. Движения должны не только удовлетворять гидродинамическим уравнениям, но еще должны быть устойчивыми: малые возмущения, раз возникнув, должны затухать со временем. Если же, напротив, неизбежно возникающие в потоке жидкости сколь угодно малые возмущения стремятся возрасти со временем, то движение неустойчиво и фактически существовать не может [1, 2]. Математическое исследование устойчивости движения по отношению к бесконечно малым возмущениям должно происходить по следующей схеме. На исследуемое стационарное решение (распределение скоростей, в котором пусть будет v₀(t, r) и давление p₀) накладывается нестационарное малое возмущение скорости v₁(t, r), и давления p₁(t, r), которое должно быть определено таким образом, чтобы результирующее решение v = v₀ + v₁, р = p₀ + p₁ удовлетворяло уравнениям движения, начальным и граничным условиям. Уравнение для определения v₁(t, r) и p₁(t, r) получается подстановкой в уравнения Навье-Стокса (уравнения движения жидкости) скорости и давления в виде v = v₀ + v₁ и р = p₀ + p₁, причем известные функции v₀ и p₀ удовлетворяют стационарным уравнениям. Тогда и получается система уравнений для нахождения возмущений.

Таким образом, в нашем случае задача об устойчивости сводится к решению системы дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих начальным и граничным условиям. Эти уравнения описывают отклонения от некоторого невозмущенного состояния системы. Изменение во времени и пространстве этих малых отклонен и и в общем случае называется волновым процессом.

Линейная теория устойчивости вязкой жидкости

Существует классический подход к этим задачам — метод элементарных волновых решений (подстановочный анализ), который состоит в следующем: исходные уравнения линеаризуются относительно некоторого невозмущенного решения. Получающиеся линейные уравнения инвариантны относительно сдвига во времени и по одной из координат, скажем х. Тогда решение можно искать в виде, пропорциональном е^i(wt-kx). При этом возникает задача отыскания значений частоты w и волнового числа k, при которых линеаризованные однородные уравнения при надлежащих краевых условиях имеют нетривиальное решение. Тогда в общем случае получается неявная зависимость между w и k, которую называют дисперсионным уравнением D(w,k) = 0. Если найдутся такие решения этого дисперсионного уравнения w(k), для которых Imw(k) < 0 при некоторых вещественных k, то говорят, что невозмущенное состояние неустойчиво по отношению к возмущению. Если же Imw(k) > 0 для всех вещественных k, то невозмущенное состояние считается устойчивым.

Обычно эволюцию во времени любого возмущения, возникшего в момент времени t = 0, можно проследить, рассматривая его разложение по элементарным волновым решениям. Если у некоторых из решений Imw(k) < 0, то возмущение нарастает и действительно возникает неустойчивость. В том случае, когда Imw(k) > 0, говорят, что система устойчива.

По аналогии с задачей о временной неустойчивости можно интерпретировать как пространственное усиление такие решения дисперсионного уравнения w(k), у которых Imw(k) > 0 при некоторых вещественных w.

Если при абсолютной неустойчивости процессы нарастают во времени, постепенно охватывая всю систему, то при конвективной неустойчивости процессы нарастают в пространстве, так как возникшие возмущения, нарастая, сносятся к выходу из системы (в нашем случае задней кромке крыла самолета). При не слишком большой длине системы и хорошо согласованном выходе (отсутствие отраженных волн) все возмущения могут покинуть систему, не достигнув заметной величины.

Развитие возмущения во времени представляет интерес в основном с теоретической точки зрения. К практически реализуемым ситуациям более подходит рассмотрение возмущений, периодических во времени, с амплитудой, изменяющейся при движении в направлении течения. Тогда следует считать действительной частоту w = kc, а волновое число k = k_r + k_i — комплексным, где k_r = 2p/l задает длину волны l, a k_i — скорость пространственного нарастания возмущений. Если k_i > 0, возмущение затухает при его распространении в направлении течения, течение устойчиво; если k_i < 0, возмущение растет с ростом х, течение неустойчиво.

	Рис. 2. Типичная кривая нейтральной устойчивости для течений пограничного слоя при временном (ki) и пространственном (ci) развитии возмущений

В пограничном слое такой подход приводит нас к. известному уравнению Орра-Зоммерфельда [1], в котором граничными являются условия прилипания на твердой поверхности и ограниченности (фактически исчезновения) возмущения на бесконечности.

Однородные граничные условия определяют задачу об устойчивости течения как задачу на собственные значения для этого уравнения. Решение задачи приводит к характеристическому уравнению, которое определяет собственные значения с = с (k, Re) , и в частности значения с_i = с_i(k, Re) . Значения с_i = 0 дают в плоскости (k, Re) кривую k = k(Re), отделяющую область параметров, при которых течение устойчиво, от области неустойчивости и называемую кривой нейтральной устойчивости или нейтральной кривой (рис. 2).

Наибольшее из чисел Рейнольдса, при котором все возмущения затухают, называется критическим числом Рейнольдса и обозначается Re*_к. Расчет нейтральных кривых, и в частности критических чисел Рейнольдса, является одной из главных задач теории гидродинамической устойчивости, так как этим определяются области параметров, при которых основное ламинарное течение устойчиво или неустойчиво по отношению к малым возмущениям. Не менее важно знание инкрементов нарастания возмущений по времени и пространству.

Для исследования развития возмущений конечной амплитуды решение этой задачи является отправной точкой и необходимо ее полное решение, то есть нахождение не только собственных значений, но и собственных функций.

Нелинейная теория устойчивости

Нелинейное развитие возмущений и возможные пути перехода к турбулентному режиму течения впервые рассматривались Л. Д. Ландау [1]. Он предложил уравнение, описывающее изменение модуля амплитуды возмущений во времени:

его решение записывается в виде

Анализ показывает, что в зависимости от знаков e, g и величины наблюдается различный характер изменения А. Для отрицательных значений e и g > 0 независимо от величины возмущения затухают при t . Если 1, то затухание наблюдается и при e < 0, g < 0. Однако, в случае > e/g возмущения неограниченно возрастают при t t₀=(1/e)ln[1-e/(g)], даже если e < 0 и g < 0. Этот случай часто называют жестким возбуждением. Независимо от амплитуды А₀ значение А неограниченно возрастает при t t₀ для e > 0 и g < 0. При e < 0, g > 0 и = -e/g значение А = -e/g. Если e = 0, то решение принимает вид А² = (1-gt)^-1. Таким образом, при g < 0 возмущения затухают при t t₀, а при g > 0 и = -e/g, когда t1/(g/). Наконец, для любых значений начальной амплитуды А₀, Аe/g (при t), если e > 0 и g > 0. Если развитие возмущений в потоках описывается данным уравнением, то в последнем случае можно говорить о выходе на новый ламинарный режим течения, хотя и необязательно стационарный (А — модуль амплитуды). Кроме того, последний случай является примером мягкого возбуждения.

В настоящее время теория Ландау получила дальнейшее развитие, в частности в вопросах бифуркации решений, нелинейного резонансного взаимодействия и стохастизации детерминированных возмущений [1].

Экспериментальные результаты по исследованию области нелинейного развития неустойчивостей в пограничном слое на плоской пластине показывают, что турбулизации течения всегда предшествует развитие трехмерной структуры возмущений в области перехода, то есть поле средних и пульсационных скоростей приобретает почти-периодическую структуру в трансверсальном направлении (см. рис. 1), где хорошо видно наличие крупномасштабных неоднородностей, так называемых L-образных вихрей, которые, развиваясь вниз по потоку, нарастают, всплывая в потоке по направлению к внешней границе пограничного слоя, и, взаимодействуя друг с другом, приводят к турбулизации потока. Следует заметить, что в зависимости от амплитуды первичных волн и спектра возмущений в пограничном слое могут наблюдаться различные сценарии ламинарно-турбулентного перехода, а это означает преобладание тех или иных нелинейных механизмов.